ZFC公理集合论系统

ZFC（Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice，策梅洛-弗兰克尔集合论加选择公理）是现代数学最常用的公理化集合论系统，是数学基础理论的核心。

历史背景

• 1908年，策梅洛提出最早的集合论公理系统。
• 后经弗兰克尔和斯科伦等人完善，形成现行的ZFC系统。
• 选择公理（Axiom of Choice, AC）是ZFC的重要组成部分。

ZFC公理体系（简述）

ZFC包含以下九条基本公理：

1. 外延公理：集合由其元素唯一确定。
2. 空集公理：存在不含任何元素的集合（空集）。
3. 配对公理：任意两个对象有唯一的集合包含它们。
4. 并集公理：任意集合的所有元素的并也是集合。
5. 幂集公理：任意集合的所有子集构成的集合（幂集）存在。
6. 替换公理：集合的像也是集合。
7. 无穷公理：存在包含空集且对“加一”封闭的集合（自然数的基础）。
8. 分离公理模式：可用性质从集合中“筛选”出子集。
9. 正则公理：每个非空集合都含有与自身不相交的元素。
10. 选择公理：任意集合族都存在一个选择函数。

重要性与应用

• ZFC为现代数学提供了统一的基础，绝大多数数学理论都可在ZFC体系下严格推导。
• 选择公理在分析、代数、拓扑等领域有重要作用。
• ZFC系统本身也有局限性，如哥德尔不完备定理表明其无法证明自身无矛盾。

相关讨论

• ZFC是目前最被广泛接受的集合论基础，但也有如NF、MK等其它集合论体系。
• 某些命题（如连续统假设）在ZFC中既不能被证明也不能被否证。

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参考：

• 百度百科：ZF公理系统
• 百度百科：ZFC公理集合论系统
• 知乎专栏：ZFC公理集合论系统