「算术公理系统 1」自然数

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「算术公理系统 1」自然数

假设存在一个算数系统的模型满足 Peano 公理，即假定 Peano 公理相容，在此承认次假设的基础之上，我们即可建立如今最常用的算术公理系统。自然数的定义则是构建此算术公理系统的第一步。

自然数的定义

先介绍 Peano 公理，共有五条：

$0$ 是自然数；
任何自然数的后继存在且唯一，下文用 $suc (n)$ 表示 $n$ 的后继；
$0$ 不是任何自然数的后继；
不同的自然数后继不同；
$p (n)$ 是关于自然数 $n$ 的一个命题，且满足两个条件：
- $p (0)$ 是真命题；
- 由 $p (n)$ 为真命题可以推理出 $p (suc (n))$ 为真命题。
则有，对于任意自然数 $n$ ， $p (n)$ 为真命题。

这样就定义了自然数，自然数这个新的数学对象因我们的假设而确立。

自然数的加法运算

自然数中最重要的运算当然是加法。

加法的定义

定义加法的运算规则：

若 $n$ 是自然数，则 $0 + n$ 的运算结果为 $n$ ，即 $0 + n = n$ ；
若 $n, m$ 都是自然数，则 $suc (m) + n = suc (m + n)$ 。

下面我们需要证明对于任意两个自然数，都可以进行加法运算，也就是说，我们需要证明加法结果的存在性和唯一性。

加法结果的存在性

$n$ 是任意自然数，记 $p_{n} (m)$ 表示 $m + n$ 是否是自然数，即 $m + n$ 是否存在。

$n$ 是自然数，由加法运算规则 Ⅰ 有 $0 + n = n$ ，进而有 $0 + n$ 是自然数； 即 $p_{n} (0)$ 得证。

$m$ 和 $m + n$ 是自然数，由 Peano 公理 Ⅱ 有 $suc (m)$ 和 $suc (m + n)$ 是自然数；根据加法运算规则 Ⅱ 有 $suc (m) + n = suc (m + n)$ ，进有 $suc (m) + n$ 是自然数；综上所述，若 $m + n$ 是自然数，则 $suc (m) + n$ 也是自然数； 即由 $p_{n} (m)$ 为真命题可以推出 $p_{n} (suc (m))$ 为真命题。

由 $p_{n} (m)$ 的性质和 Peano 公理 Ⅴ 有，对于任意自然数 $m$ ， $p_{n} (m)$ 成立，即 $m + n$ 是自然数，再根据 $n$ 的任意性，得出对于任意自然数 $n, m$ ， $m + n$ 都是自然数。

加法结果的唯一性

$n$ 是任意自然数，记 $p_{n} (m)$ 表示 $m + n$ 是否唯一，即 $m + n$ 的结果是否唯一。

$n$ 是自然数，由加法运算规则 Ⅰ 有 $0 + n = n$ ，进而 $0 + n$ 是唯一的，就是 $n$ ； 即 $p_{n} (0)$ 得证。

$m$ 是自然数， $m + n$ 是唯一的，由 Peano 公理 Ⅱ 有 $suc (m)$ 是自然数且 $suc (m + n)$ 唯一；根据加法运算规则 Ⅱ 有 $suc (m) + n = suc (m + n)$ ，进有 $suc (m) + n$ 唯一；综上所述，若 $m + n$ 唯一，则 $suc (m) + n$ 也唯一； 即由 $p_{n} (m)$ 为真命题可以推出 $p_{n} (suc (m))$ 为真命题。

由 $p_{n} (m)$ 的性质和 Peano 公理 Ⅴ 有，对于任意自然数 $m$ ， $p_{n} (m)$ 成立，即 $m + n$ 唯一，再根据 $n$ 的任意性，得出对于任意自然数 $n, m$ ， $m + n$ 都是唯一的。

加法的性质

在明确证明了自然数加法运算的良好性质，即任意两个自然数都可以进行加法运算，且加法运算的结果存在且唯一之后，我们终于可以对自然数加法的性质进行进一步的探索。

加法交换律

下面证明加法交换律，即对于任意自然数 $n, m$ ，有 $n + m = m + n$ 。

直接证明比较困难，考虑从加法运算的定义下手，即先证明加法的两条运算规则符合交换律。

试证 $0 + n = n = n + 0$ ，首先有

\begin{aligned} 0 + 0 & = 0 & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = 0 + 0 & # 加法运算规则 Ⅰ \end{aligned}

进而当 $n$ 是自然数且 $0 + n = n = n + 0$ 时有

\begin{aligned} 0 + suc (n) & = suc (n) & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = suc (n + 0) & # n = n + 0 \\ = suc (n) + 0 & # 加法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $0 + n = n = n + 0$ 对任意自然数 $n$ 成立。

试证 $m + suc (n) = suc (m + n) = suc (m) + n$ ，首先有

\begin{aligned} 0 + suc (n) & = suc (n) & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = suc (0 + n) & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = suc (0) + n & # 加法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

进而当 $m$ 是自然数且 $m + suc (n) = suc (m + n) = suc (m) + n$ 时有

\begin{aligned} suc (m) + suc (n) & = suc (m + suc (n)) & # 加法运算规则 Ⅱ \\ = suc (suc (m + n)) & # m + suc (n) = suc (m + n) \\ = suc (suc (m) + n) & # suc (m + n) = suc (m) + n \\ = suc (suc (m)) + n & # 加法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $m + suc (n) = suc (m + n) = suc (m) + n$ 对任意自然数 $n, m$ 成立，将其称为新的加法运算规则 Ⅱ。

证明了加法运算规则的交换律之后，试证加法交换律 $n + m = m + n$ ，首先由加法运算规则 Ⅰ 有 $0 + m = m + 0$ ，进而当 $n$ 是自然数且 $n + m = m + n$ 时，有

\begin{aligned} suc (n) + m & = suc (n + m) & # 加法运算规则 Ⅱ \\ = suc (m + n) & # n + m = m + n \\ = m + suc (n) & # 加法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $n + m = m + n$ 对任意自然数 $n, m$ 成立，即加法交换律成立。

加法结合律

下面证明加法结合律，即对于任意自然数 $a, b, c$ ，有 $(a + b) + c = a + (b + c)$ 。

首先当 $c = 0$ 时，有

\begin{aligned} (a + b) + c & = (a + b) + 0 & # c = 0 \\ = a + b & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = a + (b + 0) & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = a + (b + c) & # c = 0 \end{aligned}

进而当 $c$ 为自然数且 $(a + b) + c = a + (b + c)$ 时有

\begin{aligned} (a + b) + suc (c) & = suc ((a + b) + c) & # 加法运算规则 Ⅱ \\ = suc (a + (b + c)) & # (a + b) + c = a + (b + c) \\ = a + suc (b + c) & # 加法运算规则 Ⅱ \\ = a + (b + suc (c)) & # 加法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $(a + b) + c = a + (b + c)$ 对任意自然数 $a, b, c$ 成立，即加法结合律成立。

加法消去律

下面证明加法消去律，即对于任意自然数 $a, b, c$ ，有 $a + c = b + c \Leftrightarrow a = b$ 。

试证 $a = b \Rightarrow a + c = b + c$ 。

首先当 $c = 0$ 时有

\begin{aligned} a + c & = a + 0 & # c = 0 \\ = a & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = b & # a = b \\ = b + 0 & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = b + c & # c = 0 \end{aligned}

进而当 $c$ 为自然数且 $a = b \Rightarrow a + c = b + c$ 时有

\begin{aligned} a + suc (c) & = suc (a + c) & # 加法运算规则 Ⅱ \\ = suc (b + c) & # a = b \Rightarrow a + c = b + c \\ = b + suc (c) & # 加法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

即 $a = b \Rightarrow a + c = b + c \Rightarrow a + suc (c) = b + suc (c)$ ，根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $a = b \Rightarrow a + c = b + c$ 对任意自然数 $a, b, c$ 成立。

试证 $a + c = b + c \Rightarrow a = b$ 。

首先当 $c = 0$ 时有

\begin{aligned} a & = a + 0 & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = a + c & # c = 0 \\ = b + c & # a + c = b + c \\ = b + 0 & # c = 0 \\ = b & # 加法运算规则 Ⅰ \end{aligned}

进而当 $c$ 为自然数且 $a + c = b + c \Rightarrow a = b$ 时有

\begin{aligned} a + suc (c) & = b + suc (c) & # 已知条件 \\ suc (a + c) & = suc (b + c) & # 加法运算规则 Ⅱ \\ a + c & = b + c & # Peano 公理 Ⅳ \\ a & = b & # a + c = b + c \Rightarrow a = b \end{aligned}

即 $a + suc (c) = b + suc (c) \Rightarrow a + c = b + c \Rightarrow a = b$ ，根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $a + c = b + c \Rightarrow a = b$ 对任意自然数 $a, b, c$ 成立。

综上所述，加法消去律 $a + c = b + c \Leftrightarrow a = b$ ，对任意自然数 $a, b, c$ 成立。

自然数的序

自然数的序为两个自然数的关系。

序的定义

定义自然数的序即定义 $n \leq m$ 当且仅当存在自然数 $x$ 满足 $n = m + x$ 。定义 $n < m$ 当且仅当 $n \leq m$ 且 $n \neq m$ 。

自然数的序是全序关系，它应该具有反对称性、传递性和完全性。

正自然数

在考察序的性质之前，我们预先准备以方便证明。

定义正自然数为非 $0$ 自然数。

正自然数的性质

正自然数与自然数相加为正自然数，即对于正自然数 $a$ ，其与自然数 $b$ 的和 $a + b$ 为正自然数。

首先，当 $b = 0$ 时， $a + 0 = a$ 为正自然数。

进而当 $b$ 为自然数且 $a + b$ 为正自然数时有 $a + suc (b) = suc (a + b)$ ，根据 Peano 公理 Ⅲ， $suc (a + b)$ 为正自然数，进而 $a + suc (b)$ 为正自然数。

根据 Peano 公理 Ⅴ，正自然数与自然数相加为正自然数。

序的反对称性

若 $a \leq b$ 且 $b \leq a$ ，则 $a = b$ 。

由 $a \leq b$ 有 $b = a + m_{1}$ ，由 $b \leq a$ 有 $a = b + m_{2}$ 。

因此 $0 + a = a = b + m_{2} = a + m_{1} + m_{2}$ ，由加法消去律得到 $m_{1} + m_{2} = 0$ ，根据正自然数的性质得出 $m_{1} = m_{2} = 0$ ，因此 $a = a + 0 = a + m_{1} = b$ 。

序的传递性

若 $a \leq b$ 且 $b \leq c$ ，则 $a \leq c$ 。

由 $a \leq b$ 有 $b = a + m_{1}$ ，由 $b \leq c$ 有 $c = b + m_{2}$ 。

根据加法结果的存在性得到 $m_{1} + m_{2}$ 是自然数，根据加法结合律得出 $c = b + m_{2} = (a + m_{1}) + m_{2} = a + (m_{1} + m_{2})$ ，进而 $a \leq c$ 。

序的完全性

任意两个自然数 $a, b$ 都有序关系。

对于 $a, b$ 两个自然数，当 $b = 0$ 时有 $a = 0 + a = b + a$ 所以 $a \leq b$ 。

当 $b$ 为自然数时。若 $a = b$ ，则 $suc (b) = a + suc (0)$ ，因此 $a < suc (b)$ ；若 $a < b$ ，则 $suc (b) = b + suc (0) = b + m + suc (0)$ ，因此 $a < suc (b)$ ；若 $a > b$ ，则 $a \geq suc (b)$ 。

由 Peano 公理 Ⅴ 有任意两个自然数 $a, b$ 都有序关系。

加法保序性

若 $a \leq b$ ，则 $a + c \leq b + c$ 。

由 $a \leq b$ 有 $b = a + m$ ，进而 $b + c = (a + m) + c = a + m + c = (a + c) + m$ 因此 $a + c \leq b + c$ 。

自然数的乘法运算

自然数的乘法也十分重要。

乘法的定义

定义乘法的运算规则：

若 $n$ 是自然数，则 $0 \times n$ 的运算结果为 $0$ ，即 $0 \times n = 0$ ；
若 $n, m$ 都是自然数，则 $suc (m) \times n = m \times n + n$ 。

下面我们需要证明对于任意两个自然数，都可以进行乘法运算，也就是说，我们需要证明乘法结果的存在性和唯一性。

乘法结果的存在性

$n$ 是任意自然数，记 $p_{n} (m)$ 表示 $m \times n$ 是否是自然数，即 $m \times n$ 是否存在。

$n$ 是自然数，由乘法运算规则 Ⅰ 有 $0 \times n = 0$ ，进而有 $0 \times n$ 是自然数； 即 $p_{n} (0)$ 得证。

$n$ 和 $m \times n$ 是自然数，由加法结果的存在性有 $m \times n + n$ 存在；根据乘法运算规则 Ⅱ 有 $suc (m) \times n = m \times n + n$ ，进有 $suc (m) \times n$ 是自然数；综上所述，若 $m \times n$ 是自然数，则 $suc (m) \times n$ 也是自然数； 即由 $p_{n} (m)$ 为真命题可以推出 $p_{n} (suc (m))$ 为真命题。

由 $p_{n} (m)$ 的性质和 Peano 公理 Ⅴ 有，对于任意自然数 $m$ ， $p_{n} (m)$ 成立，即 $m \times n$ 是自然数，再根据 $n$ 的任意性，得出对于任意自然数 $n, m$ ， $m \times n$ 都是自然数。

乘法结果的唯一性

$n$ 是任意自然数，记 $p_{n} (m)$ 表示 $m \times n$ 是否唯一，即 $m \times n$ 的结果是否唯一。

$n$ 是自然数，由乘法运算规则 Ⅰ 有 $0 \times n = 0$ ，进而 $0 \times n$ 是唯一的，就是 $0$ ； 即 $p_{n} (0)$ 得证。

$m$ 是自然数， $m \times n$ 是唯一的，由加法结果的唯一性有 $m \times n + n$ 唯一；根据乘法运算规则 Ⅱ 有 $suc (m) \times n = m \times n + n$ ，进有 $suc (m) \times n$ 唯一；综上所述，若 $m \times n$ 唯一，则 $suc (m) \times n$ 也唯一； 即由 $p_{n} (m)$ 为真命题可以推出 $p_{n} (suc (m))$ 为真命题。

由 $p_{n} (m)$ 的性质和 Peano 公理 Ⅴ 有，对于任意自然数 $m$ ， $p_{n} (m)$ 成立，即 $m \times n$ 唯一，再根据 $n$ 的任意性，得出对于任意自然数 $n, m$ ， $m \times n$ 都是唯一的。

乘法的性质

在明确证明了自然数乘法运算的良好性质，即任意两个自然数都可以进行乘法运算，且乘法运算的结果存在且唯一之后，我们终于可以对自然数乘法的性质进行进一步的探索。

乘法交换律

下面证明乘法交换律，即对于任意自然数 $n, m$ ，有 $n \times m = m \times n$ 。

直接证明比较困难，考虑从乘法运算的定义下手，即先证明乘法的两条运算规则符合交换律。

试证 $0 \times n = 0 = n \times 0$ 。

首先有 $0 \times 0 = 0 = 0 \times 0$ 。

进而当 $n$ 是自然数且 $0 \times n = 0 = n \times 0$ 时有

\begin{aligned} 0 \times suc (n) & = 0 & # 乘法运算规则 Ⅰ \\ = n \times 0 & # 0 = n \times 0 \\ = n \times 0 + 0 & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = suc (n) \times 0 & # 乘法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $0 \times n = 0 = n \times 0$ 对任意自然数 $n$ 成立。

试证 $m \times suc (n) = m \times n + m$ 。

首先 $m = 0$ 时有

\begin{aligned} m \times suc (n) & = 0 \times suc (n) & # m = 0 \\ = 0 & # 乘法运算规则 Ⅰ \\ = 0 \times n & # 乘法运算规则 Ⅰ \\ = 0 \times n + 0 & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = m \times n + m & # m = 0 \end{aligned}

进而当 $m$ 是自然数且 $m \times suc (n) = m \times n + m$ 时有

\begin{aligned} suc (m) \times suc (n) & = m \times suc (n) + suc (n) & # 乘法运算规则 Ⅱ \\ = m \times n + m + suc (n) & # m \times n + m \\ = m \times n + suc (m) + n & # 加法运算规则 Ⅱ \\ = m \times n + n + suc (m) & # 加法交换律 \\ = suc (m) \times n + suc (m) & # 乘法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $m \times suc (n) = m \times n + m$ 对任意自然数 $n, m$ 成立，将其称为新的乘法运算规则 Ⅱ。

证明了乘法运算规则的交换律之后，试证乘法交换律 $n \times m = m \times n$ ，首先当 $n = 0$ 时由乘法运算规则 Ⅰ 有 $0 \times m = m \times 0$ 。

进而当 $n$ 是自然数且 $n \times m = m \times n$ 时，有

\begin{aligned} suc (n) \times m & = n \times m + m & # 乘法运算规则 Ⅱ \\ = m \times n + m & # n \times m = m \times n \\ = m \times suc (n) & # 乘法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $n \times m = m \times n$ 对任意自然数 $n, m$ 成立，即乘法交换律成立。

乘法分配律

下面证明乘法分配律，即对于任意自然数 $a, b, n$ ，有 $n \times (a + b) = n \times a + n \times b$ 。

首先当 $n = 0$ 时， $n \times (a + b) = 0 \times (a + b) = 0 = 0 + 0 = 0 \times a + 0 \times b = n \times a + n \times b$ ，进而当 $n$ 为自然数且 $n \times (a + b) = n \times a + n \times b$ 时有

\begin{aligned} suc (n) \times (a + b) & = n \times (a + b) + (a + b) & # 乘法运算规则 Ⅱ \\ = n \times a + n \times b + (a + b) & # n \times (a + b) = n \times a + n \times b \\ = n \times a + n \times b + a + b & # 加法结合律 \\ = n \times a + a + n \times b + b & # 加法交换律 \\ = (n \times a + a) + (n \times b + b) & # 加法结合律 \\ = suc (n) \times a + suc (n) \times b & # 乘法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $n \times (a + b) = n \times a + n \times b$ 对任意自然数 $n, a, b$ 成立，即乘法分配律成立。

乘法结合律

下面证明乘法结合律，即对于任意自然数 $a, b, c$ ，有 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ 。

首先当 $c = 0$ 时，有 $(a \times b) \times c = (a \times b) \times 0 = 0 = a \times 0 = a \times (b \times 0) = a \times (b \times c)$ 。

进而当 $c$ 为自然数且 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ 时有

\begin{aligned} (a \times b) \times suc (c) & = (a \times b) \times c + a \times b & # 乘法运算规则 Ⅱ \\ = a \times (b \times c) + a \times b & # (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \\ = a \times (b \times c + b) & # 乘法分配律 \\ = a \times (b \times suc (c)) & # 乘法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ 对任意自然数 $a, b, c$ 成立，即乘法结合律成立。

乘法消去律

下面证明乘法消去律，即对于任意自然数 $a, b$ 和 $c$ ，有 $a \times suc (c) = b \times suc (c) \Leftrightarrow a = b$ 。

试证 $a = b \Rightarrow a \times suc (c) = b \times suc (c)$ 。

首先当 $c = 0$ 时有

\begin{aligned} a \times suc (c) & = a \times suc (0) & # c = 0 \\ = a \times 0 + a & # 乘法运算规则 Ⅱ \\ = 0 + a & # 乘法运算规则 Ⅰ \\ = a & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = b & # a = b \\ = 0 + b & # 加法运算规则 Ⅰ \\ = b \times 0 + b & # 乘法运算规则 Ⅰ \\ = b \times suc (0) & # 乘法运算规则 Ⅱ \\ = b \times suc (c) & # c = 0 \end{aligned}

进而当 $c$ 为自然数且 $a \times suc (c) = b \times suc (c)$ 时有

\begin{aligned} a \times suc (suc (c)) & = a \times suc (c) + a & # 乘法运算规则 Ⅱ \\ = b \times suc (c) + b & # a = b 且 a \times suc (c) = b \times suc (c) \\ = b \times suc (suc (c)) & # 乘法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

即 $a = b \Rightarrow a \times suc (c) = b \times suc (c) \Rightarrow a \times suc (suc (c)) = b \times suc (suc (c))$ ，根据 Peano 公理 Ⅴ，得知 $a = b \Rightarrow a \times suc (c) = b \times suc (c)$ 对任意自然数 $a, b, c$ 成立。

试证 $a \times suc (c) = b \times suc (c) \Rightarrow a = b$ ，采用反证法，假设 $a \neq b$ ，则由加法运算规则 Ⅱ 可知 $a = b + m$ 或 $b = a + m$ ，其中 $m \neq 0$ ，不妨设 $a = b + m, m \neq 0$ 。

由 Peano 公理 Ⅲ 有 $suc (c) \neq 0$ 。

由 Peano 公理 Ⅲ、Ⅳ 有，任意非零自然数 $c$ 都有唯一的数 $x$ 满足 $suc (x) = c$ ，不妨记作 $pre (c) = x$ 。

若有 $a \times suc (c) = b \times suc (c)$ ，则有

\begin{aligned} a \times suc (c) & = b \times suc (c) & # 已知条件 \\ (b + m) \times suc (c) & = b \times suc (c) & # a = b + m \\ b \times suc (c) + m \times suc (c) & = b \times suc (c) & # 乘法交换律、乘法分配律 \\ m \times suc (c) & = 0 & # 加法消去律 \\ m \times c + m & = 0 & # 乘法运算规则 Ⅱ \\ m \times c + suc (pre (m)) & = 0 & # m \neq 0 、 m = suc (pre (m)) \\ suc (m \times c + pre (m)) & = 0 & # 加法运算规则 Ⅱ \end{aligned}

上述等式表明 $0$ 是 $m \times c + pre (m)$ 的后继，这违背了 Peano 公理 Ⅲ，由此知道假设不成立，即 $a \times suc (c) = b \times suc (c) \Rightarrow a = b$ 。

综上所述，乘法消去律 $a \times suc (c) = b \times suc (c) \Leftrightarrow a = b$ ，对任意自然数 $a, b, c$ 成立。

Peano 公理的合理性

通过上述步骤，我们成功地由 Peano 公理构建出了一个自然数代数系统。但 Peano 公理自身任有待研究。从上述步骤中我们看出 Peano 公理每一条公理都被使用过，少了任何一条都不足以构建出上述的自然数系统，这究竟是为什么呢？

下面我将阐述为什么每条公理都是必须的，通过举反例的方式。研究 Peano 公理自然不能从 Peano 公理系统内出发，我们将借助另一个公理系统——图论。

乘法保序性

若 $a \leq b$ ，则 $a \times suc (c) \leq b \times suc (c)$ 。

由 $a \leq b$ 有 $b = a + m$ ，进而 $b \times suc (c) = (a + m) \times suc (c) = a \times suc (c) + m \times suc (c)$ 因此 $a \times suc (c) \leq b \times suc (c)$ 。

乘法消去保序性

若 $a \times suc (c) \leq b \times suc (c)$ ，则 $a \leq b$ 。

采用反证法，假设 $a > b$ ，则存在正自然数 $m$ 满足 $a = b + m$ ，有

a \times suc (c) = (b + m) \times suc (c) = b \times suc (c) + m \times suc (c)

由此有 $b \times suc (c) \leq a \times suc (c)$ ，根据序的反对称性有 $a \times suc (c) = b \times suc (c)$ ，根据乘法消去律有 $a = b$ ，这与 $a > b$ 的假设矛盾，因此假设不成立，即证明了乘法消去的保序性。

用图论阐述 Peano 系统

自然数与有向图 $G (V, E)$ 同构，这个图满足如下性质：

存在点 $0$ ，即 $v_{0} \in V$ ；
所有点的出度为 $1$ ，即 $outDeg (v) = 1$ ；
点 $0$ 入度为 $0$ ，即 $inDeg (v_{0}) = 0$ ；
任意点的入度小于等于 $1$ ，即 $inDeg (v) \leq 1$ ；
存在从 $0$ 到任意点的路径，即 $\exists path (0, v)$ 。

下面我们试着通过删除公理的方法来寻找反例。